Des équations différentielles aux systèmes dynamiques _ Tome 2, Vers la théorie des systèmes dynamiques
TABLE DES MATIÈRES
Avant-Propos vii
1 Introduction 1
1.1 Modélisation d’évolutions par champs de vecteurs et itérations 1
1.2 Équivalences entre systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Un survol des propriétés des systèmes dynamiques . . . . . . . 8
1.4 Exemples de systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Plan du tome 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Généricité et transversalité 23
2.1 Germe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Topologie sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Convergence de classe Ck sur les ouverts euclidiens . . 24
2.2.2 Généralisation aux variétés . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 La notion de généricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Le lemme fondamental de transversalité . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Le théorème de transversalité de Thom . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Le cas euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.2 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Exemples de propriétés génériques . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.1 Intérêt et limite du théorème de transversalité . . . . 52 2.7.2 Topologie de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7.3 Notion de singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Étude locale des singularités hyperboliques 59 3.1 Points singuliers et points fixes hyperboliques . . . . . . . . . . 59 3.2 Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques . . . . . . 62
2.4 Le lemme fondamental de transversalité . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Le théorème de transversalité de Thom . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Le cas euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.2 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Exemples de propriétés génériques . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.1 Intérêt et limite du théorème de transversalité . . . . 52 2.7.2 Topologie de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7.3 Notion de singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Étude locale des singularités hyperboliques 59 3.1 Points singuliers et points fixes hyperboliques . . . . . . . . . . 59 3.2 Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques . . . . . . 62
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